Question

4．某公司购进一种商品的成本为30元/kg，经市场调研发现，这种商品在未来90
天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的相关信息如下图，销售量y（kg）与时间t（天）之间满足一次函数关系，且对应数据如下表．设第t天的销售利润为w（元）                                                             

时间t（天）	10	30
每天的销售量 y（kg）	180	140

（1）分别求出售单价p（元/kg）、销售量y（kg）与时间t（天）之间的函数关系式；
（2）问：销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；
（3）在实际销售的前50天中，公司决定每销售1kg该商品就捐赠n元利润（n＜12）给“精准扶贫”对象．现发现：在前50天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出答案；
（2）利用销量×每千克利润=总利润，进而求出答案；
（3）利用二次函数增减性结合对称轴公式得出n的取值范围．

解答 解：（1）设y=kt+b，把t=10，y=180；t=30，y=140代入得到：
$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=180}\\{30k+b=140}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=200}\end{array}\right.$，
∴y=-2t+200．
当0＜t＜50时，设p=kt+40，由图象得B（50，90）
∴50k+40=90，
∴k=1，
∴p=t+40，
当50≤t≤90时，p=90；

（2）由题意可得：w=（-2t+200）（t+40-30）
=-2t²+180t+2000
=-2（t-45）²+6050，
∴t=45时，w_最大值为6050元，
w=（-2t+120）（90-30）=-120t+12000，
∵-120＜0，
∴w随x增大而减小，
∴t=50时，w_最大值=6000，
综上所述第45天利润最大，最大利润为6050元；

（3）设前50天每天扣除捐赠后的日销售利润为m元．
由题意m=-2t²+180t+2000-（-2t+200）n
=-2t²+（180+2n）t+2000-200n，
∵在前50天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
∴-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{180+2n}{-4}$≥50，
∴n≥10．
又∵n＜12，
∴n的取值范围为：10≤n＜12．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．