(1)先化简.再求值:$\frac{1}{x}$÷($\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-x}$-$\frac{2}{x-1}$)+$\frac{1}{x+1}$.其中x=2-1-20160(2)阅读理解[提出问题]已知$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{3}$=$\frac{z}{2}$=k.求分式$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy-yz}$的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

16．（1）先化简，再求值：$\frac{1}{x}$÷（$\frac{{x}^{2}+1}{{x}^{2}-x}$-$\frac{2}{x-1}$）+$\frac{1}{x+1}$，其中x=2^-1-2016⁰
（2）阅读理解
【提出问题】已知$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{3}$=$\frac{z}{2}$=k，求分式$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy-yz}$的值．
【分析问题】本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数k，得出x，y，z与k的关系，然后再代入待求的分式化简即可．
【解决问题】设$\frac{x}{4}$=$\frac{y}{3}$=$\frac{z}{2}$=k，则x=4k，y=3k，z=2k，将它们分别代入$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy-xz}$中并化简，可得分式$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy-xz}$的值为$\frac{25}{4}$．
【拓展应用】已知$\frac{x}{3}$=-$\frac{y}{2}$=$\frac{z}{4}$，求分式$\frac{{x}^{2}-2xy+{y}^{2}}{{y}^{2}+4yz+4{z}^{2}}$的值．

分析（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可；
（2）【解决问题】把x=4k，y=3k，z=2k代入进行计算即可；
【拓展应用】令$\frac{x}{3}$=-$\frac{y}{2}$=$\frac{z}{4}$=k，则x=3k，y=-2k，z=4k，再代入分式进行计算即可．

解答解：（1）原式=$\frac{1}{x}$÷$\frac{{x}^{2}+1-2x}{x（x-1）}$+$\frac{1}{x+1}$
=$\frac{1}{x}$÷$\frac{（x-1）^{2}}{x（x-1）}$+$\frac{1}{x+1}$
=$\frac{1}{x}$÷$\frac{x-1}{x}$+$\frac{1}{x+1}$
=$\frac{1}{x}$•$\frac{x}{x-1}$+$\frac{1}{x+1}$
=$\frac{1}{x-1}$+$\frac{1}{x+1}$
=$\frac{x+1+x-1}{（x-1）（x+1）}$
=$\frac{2x}{（x-1）（x+1）}$，
当x=2^-1-2016⁰=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$时，原式=$\frac{2×（-\frac{1}{2}）}{（-\frac{1}{2}-1）（-\frac{1}{2}+1）}$=$\frac{-1}{（-\frac{3}{2}）×\frac{1}{2}}$=$\frac{4}{3}$．

（2）【解决问题】把x=4k，y=3k，z=2k代入得，
原式=$\frac{16{k}^{2}+9{k}^{2}}{12{k}^{2}-8{k}^{2}}$=$\frac{25{k}^{2}}{4{k}^{2}}$=$\frac{25}{4}$．
故答案为：$\frac{25}{4}$；
【拓展应用】令$\frac{x}{3}$=-$\frac{y}{2}$=$\frac{z}{4}$=k，则x=3k，y=-2k，z=4k，
原式=$\frac{（x-y）^{2}}{（y+2z）^{2}}$=$\frac{（3k+2k）^{2}}{（-2k+8k）^{2}}$=$\frac{25{k}^{2}}{36{k}^{2}}$=$\frac{25}{36}$．

点评本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意，当条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数k，得出x，y，z与k的关系，然后再代入待求的分式化简即可．