Question

2．三个不等于零的有理数a，b，c满足（a+b）（b+c）（c+a）=0，则$\frac{（a+b+c）（{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}）（{a}^{5}+{b}^{5}+{c}^{5}）（{a}^{7}+{b}^{7}+{c}^{7}）（{a}^{9}+{b}^{9}+{c}^{9}）}{{a}^{25}+{b}^{25}+{c}^{25}}$=1．

Answer 1

分析 先得出a=-b或b=-c或c=-a，分三种情况代换，化简即可得出结论．

解答 解：∵三个不等于零的有理数a，b，c满足（a+b）（b+c）（c+a）=0，∴a+b=0或b+c=0或c+a=0，∴a=-b或b=-c或c=-a，
当a=-b时，a+b+b=-b+b+c=c，
a³+b³+c³=（-b）³+b³+c³=-b³+b³+c³=c³，
a⁵+b⁵+c⁵=（-b）⁵+b⁵+c⁵=-b⁵+b⁵+c⁵=c⁵，
a⁹+b⁹+c⁹=（-b）⁹+b⁹+c⁹=-b⁹+b⁹+c⁹=c⁹，
a²⁵+b²⁵+c²⁵=（-b）²⁵+b²⁵+c²⁵=-b²⁵+b²⁵+c²⁵=c²⁵
∴$\frac{（a+b+c）（{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}）（{a}^{5}+{b}^{5}+{c}^{5}）（{a}^{7}+{b}^{7}+{c}^{7}）（{a}^{9}+{b}^{9}+{c}^{9}）}{{a}^{25}+{b}^{25}+{c}^{25}}$=$\frac{c×{c}^{3}×{c}^{5}×{c}^{7}×{c}^{9}}{{c}^{25}}$=$\frac{{c}^{1+3+5+7+9}}{{c}^{25}}$=$\frac{{c}^{25}}{{c}^{25}}$=1，
同理：当b=-c时或当c=-a时，则$\frac{（a+b+c）（{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}）（{a}^{5}+{b}^{5}+{c}^{5}）（{a}^{7}+{b}^{7}+{c}^{7}）（{a}^{9}+{b}^{9}+{c}^{9}）}{{a}^{25}+{b}^{25}+{c}^{25}}$=1，
即：则$\frac{（a+b+c）（{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}）（{a}^{5}+{b}^{5}+{c}^{5}）（{a}^{7}+{b}^{7}+{c}^{7}）（{a}^{9}+{b}^{9}+{c}^{9}）}{{a}^{25}+{b}^{25}+{c}^{25}}$=1，
故答案为1．

点评 此题主要考查了幂的乘方，积的次方，同底数幂的乘法，解本题的关键是得出a=-b或b=-c或c=-a，是一道很好的基础题．