Question

7．如图，在正方形ABCD中，M为AB上的一点，N为BC上的一点，且BM=BN，BP⊥MC于点P，求证：DP⊥NP．

Answer 1

分析 首先证明△BPC∽△MBC，得到$\frac{CP}{BC}=\frac{PB}{BM}=\frac{BC}{MC}$，进而证明CP/CD=BP/BN；由∠PCD=∠BMC=∠PBC，证明△BPN∽△PDC，得到∠BPN=∠CPD，即可解决问题．

解答 解：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，AB∥CD，∠ABC=∠BCD，
∴∠PCD=∠BMC，
∵BP⊥MC，
∴∠PBC+∠BCM=90°，而∠PBC+∠PBM=90°，
∴∠PBC=∠BMC，∠MCB=∠BCP，
∴△BPC∽△MBC；
∴CP：BC=BP：BM=BC：MC，
∵BM=BN，BC=CD，
∴CP：CD=BP：BQ，而∠PCD=∠BMC=∠PBC，
∴△BPN∽△PDC，
∴∠BPN=∠CPD，∠CPD+∠NPC=90°，
∴DP⊥PN．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．