Question

19．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，∠1与∠2互补，判断HF与AB是否垂直，并说明理由（填空）．
解：垂直．理由如下：
∵DE⊥AC，AC⊥BC，
∴∠AED=∠ACB=90°（①在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行）．
∴DE∥BC（②同位角相等，两直线平行）
∴∠1=∠DCB（③两直线平行，内错角相等）
∵∠1与∠2互补（已知）．
∴∠DCB与∠2互补
∴DC∥FH（④同旁内角互补，两直线平行）
∴∠BFH=∠CDB（⑤两直线平行，同位角相等）
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°．
∴∠BFH=90°（⑥等量代换）．
∴HF⊥AB．

Answer 1

分析 根据AC⊥BC，DE⊥AC，易证DE∥BC，于是∠1=∠DCB，而∠1与∠2互补，那么∠2+∠DCB=180°，从而可证FH∥CD，结合CD⊥AB，易得∠HFD=90°，即HF⊥AB．

解答 解：垂直．理由如下：
∵DE⊥AC，AC⊥BC，
∴∠AED=∠ACB=90°（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行）
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠DCB（两直线平行，内错角相等）；
∵∠1与∠2互补（已知），
∴∠DCB与∠2互补，
∴DC∥FH（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BFH=∠CDB（两直线平行，同位角相等）；
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠HFB=90°（等量代换），
∴HF⊥AB．
故答案是：①在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；②同位角相等，两直线平行；③两直线平行，内错角相等；④同旁内角互补，两直线平行；⑤两直线平行，同位角相等；⑥等量代换．

点评 本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键．