Question

7．如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，点A在第二象限，点D在第一象限，AB=2$\sqrt{3}$，OD=4，将矩形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则点C对应点的坐标是（　　）

• A． （-$\sqrt{3}$，1）
• B． （-1，$\sqrt{3}$）
• C． （-1，$\sqrt{3}$）或（1，-$\sqrt{3}$）
• D． （-$\sqrt{3}$，1）或（1，-$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 根据矩形的性质得到CD=AB=2$\sqrt{3}$，∠DCO=90°，根据已知条件得到∠DOC=60°，OC=2，①当顺时针旋转至△OD′C′时，过C′作C′E⊥OD′于E，②当逆时针旋转至△OD″C″时，如图，过C″作C″E⊥OD″于F，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：在矩形ABCD中，
∵CD=AB=2$\sqrt{3}$，∠DCO=90°，
∵OD=4，
∴∠DOC=60°，OC=2，
①当顺时针旋转至△OD′C′时，如图，∠D′OC′=∠DOC=60°，OC′=OC=2，
过C′作C′E⊥OD′于E，则OE=$\frac{1}{2}$OC′=1，C′E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC′=$\sqrt{3}$，
∴C′（1，-$\sqrt{3}$），
②当逆时针旋转至△OD″C″时，如图，∠D″OC″=∠DOC=60°，OC″=OC=2，
过C″作C″E⊥OD″于F，则OF=$\frac{1}{2}$OC″=1，C″F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC′=$\sqrt{3}$，
∴C″（-1，$\sqrt{3}$），
综上所述：点C对应点的坐标是（1，-$\sqrt{3}$），（-1，$\sqrt{3}$），
故选：C．

点评 本题考查了坐标与图形变换-旋转，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．