Question

15．（一）阅读
求x²+6x+11的最小值．
解：x²+6x+11
=x²+6x+9+2
=（x+3）²+2
由于（x+3）²的值必定为非负数，所以（x+3）²+2，即x²+6x+11的最小值为2．
（二）解决问题
（1）若m²+2mn+2n²-6n+9=0，求（$\frac{m}{n}$）^-3的值；
（2）对于多项式x²+y²-2x+2y+5，当x，y取何值时有最小值．

Answer 1

分析 （1）根据完全平方公式把已知条件变形得到（m+n）²+（n-3）²=0，再根据非负数的性质求出m、n，然后把m、n的值代入计算即可；
（2）原式利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出最小值，以及x与y的值即可．

解答 解：（1）解：原式可变为m²+2mn+n²+n²-6n+9=0
∴（m+n）²+（n-3）²=0，
∴m+n=0且n-3=0，
∴m=-3，n=3，
∴（$\frac{m}{n}$）^-3=${（\frac{-3}{3}）}^{-3}$=（-1）^-3=-1；

（2）原式=x²+y²-2x+2y+1+1+3
=（x²-2x+1）+（y²+2y+1）+3
=（x-1）²+（y+1）²+3
因为（x-1）²和（y+1）²的值必定为非负数，
所以当x=1，y=-1时，x²+y²-2x+2y+5有最小值．

点评 此题考查了因式分解-运用公式法，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．