Question

6．在Rt△ABC中，∠ABC=2∠ACB，延长AB至点D，使BD=BC，点E是直线BC上一点，点F是直线AC上一点，连接DE．连接EF，且∠DEF=∠DBC．
（1）如图1，若∠D=∠EFC，AB=$\sqrt{3}$，求AC的长．
（2）如图2，当∠BAC=45°，点E为线段BC的延长线上，点F在线段AC的延长线上时，求证：CF=$\sqrt{2}$BE．
（3）如图3，当∠BAC=90°，点E为线段CB的延长线上，点F在线段CA的延长线上时，猜想线段CF与线段BE的数量关系，并证明猜想的结论．

Answer 1

分析 （1）由题意推出∠ACB=30°，由此即可解决问题．
（2）延长DB到N，使得DN=EC．只要证明△NDE≌△CEF，△ENB是等腰直角三角形即可解决问题；
（3）CF=$\sqrt{3}$BE．如图3中，连接CD、DF、作NE⊥CE交AD的延长线于N，在线段CE上截取一点M，使得FM=FE．只要证明△EDN≌△CMF，推出NE=CF，即可解决问题．

解答 （1）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=2∠ACB，
∴∠ACB=30°
在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，AB=$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，
∴BC=2AB=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3．

（2）证明：延长DB到N，使得DN=EC．

∵∠ABC=2∠ACB，∠BAC=45°，
∴∠ABC=90°，∠A=∠BCA=45°，
∴BC=AB=BD，∵DN=EC，
∴BN=BE，
∴∠N=45°，
∵ECF=∠BCA=45°，
∴∠N=∠ECF，
∵∠NDE=90°+∠DEB，∠FEC=90°+∠DEB，
∴∠NDE=∠FEC，
∴△NDE≌△CEF，
∴EN=CF，
∵EN=$\sqrt{2}$BE，
∴CF=$\sqrt{2}$BE．

（3）结论：CF=$\sqrt{3}$BE．
理由：延长BA至点N，使得BN=BE，连接NE，作BM⊥EN于M．

∵BD=BC，BN=BE，
∴DN=EC，
∵∠ABC=60°，
∴∠BEN=∠N=30°，
∴∠C=∠N，
∵∠DBC=∠DEF，
∴∠D+∠DEB=∠DEB+∠CEF，
∴∠D=∠CEF，
∴△CEF≌△NDE，
∴CF=EN，
∵BE=BN，BM⊥EN，
∴EM=MN，
在Rt△BEM中，EM=EB•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EB，
∴CF=EN=2EM=$\sqrt{3}$EB．
∴CF=$\sqrt{3}$BE．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、四点共圆、圆的有关性质、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用四点共圆创造条件解决问题，属于中考压轴题．