Question

11．如果$\sqrt{2011+x}+\sqrt{2011-x}$是整数，这样的整数x（　　）

• A． 存在且唯一
• B． 恰有两个
• C． 有两个以上
• D． 不存在

Answer 1

分析 设p=$\sqrt{2011+x}$，q=$\sqrt{2011-x}$，即p、q也是整数，得到2011+x=p²①，2011-x+q²②，①+②得：p²+q²=4022得到p、q都是奇数，设p=2k-1，q=2m-1，于是得到结论．

解答 解：∵$\sqrt{2011+x}+\sqrt{2011-x}$是整数，所以x是整数，
设p=$\sqrt{2011+x}$，q=$\sqrt{2011-x}$，
即p、q也是整数，
∴2011+x=p²①，2011-x=q²②，
∴①+②得：p²+q²=4022，
∵4022=2×2011，
∴p、q都是奇数，
设p=2k-1，q=2m-1，
则有1005=k（k-1）+m（m-1），
而k（k-1）+m（m-1）为偶数，1005为奇数，故无解，
故选D．

点评 本题考查了实数，正确的理解题意是解题的关键．