Question

16．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，$\sqrt{3}$），点B（2，0），P为线段OB上一点，过点P作PQ∥OA，交AB于点Q，连接AP，则△APQ面积最大值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 如图，作AF⊥OB于F，QE⊥OB于E．设OP=x．根据S_△APQ=S_△AOB-S_△AOP-S_△PQB，利用二次函数的性质，求出△APQ面积最大值为多少即可．

解答 解：如图，作AF⊥OB于F，QE⊥OB于E．设OP=x，
，
∵点A（1，$\sqrt{3}$），点B（2，0），
∴点F是OB的中点，
∴OF=2÷2=1，AF=$\sqrt{3}$，
∵OF=FB，AF⊥OB，
∴AO=AB，
∴OA=AB=$\sqrt{{1}^{2}{+（\sqrt{3}）}^{2}}$=2，
∵OA=AB=OB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BOA=∠BAO=∠ABO=60°，
∵PQ∥OA，
∴∠QPB=∠AOB=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP=BQ=PQ=2-x，
∴S_△BPQ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-x）²，
∴S_△APQ=S_△AOB-S_△AOP-S_△BPQ
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²-$\frac{1}{2}$x•$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（2-x）²
=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（4-2x+x²）
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$
∴当x=1时，△APQ面积最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故选：B．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及二次函数的最值的求法，要熟练掌握．