Question

15．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．
求证：（1）DE平分∠ADC；
（2）AD+BC=DC．

Answer 1

分析 （1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，推出∠CDF=∠F，由∠ADF=∠F即可证明；
（2）由△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，进而利用等线段的代换可证得结论；

解答 证明：（1）延长DE交CB的延长线于F，
∵AD∥CF，
∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F．
在△AED与△BEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ABF}\\{AE=BE}\\{∠ADE=∠F}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BEF，
∴AD=BF，DE=EF，
∵CE⊥DF，
∴∠CDF=∠F，
∵AD∥CF，
∴∠ADE=∠F，
∴∠ADE=∠CDF，
∴ED平分∠ADC．

（2）∵△AED≌△BEF，
∴AD=BF，DE=EF，
∵CE⊥DF，
∴CD=CF=BC+BF，
∴AD+BC=DC．

点评 本题考查梯形、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是因为点E是中点，所以应该联想到构造全等三角形，这是经常用到的解题思路，同学们要注意掌握．