Question

20．已知如图，△ABC中，AB=4，AC=2$\sqrt{2}$，∠B=30°，0°＜∠C＜90°．
（1）求点A到直线BC的距离以及BC的长度．
（2）将△ABC绕线段BC所在直线旋转一周，求所得几何体的表面积．

Answer 1

分析 （1）作AD⊥BC于D，如图，在Rt△ABD中利用含30度的直角三角形三边的关系易得AD=2，BD=2$\sqrt{3}$，然后在Rt△ACD中利用勾股定理计算出CD=2，从而得到BC的长；
（2）将△ABC绕线段BC所在直线旋转一周，所得几何体为共底面的两个圆锥，其中底面圆的半径为DA，母线长分别为BA和CA，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长计算两个圆锥的侧面积即可．

解答 解：（1）作AD⊥BC于D，如图，
在Rt△ABD中，∵∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2，BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2，
∴BC=BD+CD=2$\sqrt{3}$+2；
（2）将△ABC绕线段BC所在直线旋转一周，所得几何体的表面积=$\frac{1}{2}$•2π•2•4+$\frac{1}{2}$•2π•2•2$\sqrt{2}$=8π+4$\sqrt{2}$π．

点评 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了解直角三角形．