Question

5．如图，平面直角坐标系中，点P的坐标为（1，0），⊙P的半径为1，点A的坐标为（-3，0），点B在y轴的正半轴上，且OB=$\sqrt{3}$．若直线1：y=$\sqrt{3}$x+m从点B开始沿y轴向下平移，线段AB与线段A′B′关于直线1对称．若线段A′B′与⊙P只有一个公共点，则m的值为$\sqrt{3}$或-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 如图，由题意直线y=$\sqrt{3}$x+m与y轴的夹角为30°，∠ABO=60°，易知当直线l经过点B时，若线段A′B′与⊙P相切于点O，把B（0，$\sqrt{3}$）代入y=$\sqrt{3}$x+m，得到m=$\sqrt{3}$．易知直线AB的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，设⊙P与x轴的另一个交点为E，作EF⊥x轴交AB于F，易知F（2，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），当直线l经过点F时，线段A′B′与⊙P相切于点E，把（2，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）代入y=$\sqrt{3}$x+m，求出m即可．

解答 解：如图，∵直线y=$\sqrt{3}$x+m与y轴的夹角为30°，∠ABO=60°，
∴当直线l经过点B时，若线段A′B′与⊙P相切于点O，
把B（0，$\sqrt{3}$）代入y=$\sqrt{3}$x+m，得到m=$\sqrt{3}$．
∵直线AB的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
设⊙P与x轴的另一个交点为E，作EF⊥x轴交AB于F，易知F（2，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），
当直线l经过点F时，线段A′B′与⊙P相切于点E，
把（2，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）代入y=$\sqrt{3}$x+m，得到：$\frac{5\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{2}$+m，m=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
综上所述，满足条件的m的值为$\sqrt{3}$或-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系、一次函数的图象与几何变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考填空题中的压轴题．