Question

10．将斜边相等的两个直角三角板的斜边重合放置，∠ACB=∠ADB=90°，∠ABC=30°，∠ABD=45°，连接CD．
（1）如图1，求证：CD平分∠ACB；
（2）将△ADB沿直线AB向上翻折（如图2），连接CD，求∠BCD的大小；
（3）在（2）的条件下，求$\frac{CD}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，取AB的中点O，连接CO，DO，首先证明A，C，B，D四点共圆，再根据AD=BD，即可得出∠ACD=∠BCD，进而得到CD平分∠ACB；
（2）取AB的中点O，连接CO，DO，根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到AO=CO=DO=BO，进而得出A，B，D，C四点共圆，即可得到∠BCD=∠BAD=45°；
（3）过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F，过C作CH⊥DF于H，构造直角三角形以及矩形，根据DH以及CH的长，运用勾股定理进行计算即可得到CD的长，最后计算$\frac{CD}{AB}$的值．

解答 解：（1）如图1，取AB的中点O，连接CO，DO，

∵四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，
∴OC=OA=OB=OD，
∴A，C，B，D四点共圆，
又∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$
∴∠ACD=∠BCD，
∴CD平分∠ACB；

（2）如图2，取AB的中点O，连接CO，DO，

∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴Rt△ABC中，CO=$\frac{1}{2}$AB=AO，
Rt△ABD中，DO=$\frac{1}{2}$AB=BO，
∴AO=CO=DO=BO，
∴A，B，D，C四点共圆，
∴∠BCD=∠BAD=45°；

（3）如图3，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F，过C作CH⊥DF于H，

设AC=2，则Rt△ABC中，AB=2AC=4，Rt△ACE中，AE=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴等腰Rt△ABD中，DF=$\frac{1}{2}$AB=2=AF，
∴EF=2-1=1，CH=EF=1，
∵Rt△ACE中，CE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$，
∴FH=$\sqrt{3}$，DH=DF-FH=2-$\sqrt{3}$，
∴Rt△CDH中，CD=$\sqrt{C{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CD}{AB}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查了四点共圆，直角三角形的性质，圆周角定理以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是判定四点共圆，运用圆周角定理进行推导，作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理进行计算．