Question

12．如图，四边形ABCD为矩形，点E为BC边的中点，点F为CD边上一点，连接AE、AF，AE平分∠BAF，连接EF．
（1）证明：∠AEF=90°；
（2）当AB=6，∠BAE=30°时，求线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）作EG∥AB，交AF于G，则∠1=∠3，EG∥CD，由已知条件求出AG=EG，再证出EG是梯形ABCF的中位线，得出AG=FG，因此EG=FG，得出∠4=∠5，由三角形内角和定理即可得出∠AEF=90°；
（2）由矩形的性质得出∠B=90°，在Rt△ABE中，由三角函数求出AE，再在Rt△AEF中，由三角函数求出EF即可．

解答 （1）证明：作EG∥AB，交AF于G，如图所示：
则∠1=∠3，EG∥CD，
∵AE平分∠BAF，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴AG=EG，
∵E是BC的中点，EG∥AB，
∴EG是梯形ABCF的中位线，
∴AG=FG，
∴EG=FG，
∴∠4=∠5，
∵∠2+∠3+∠4+∠5=180°，
∴∠3+∠4=90°，
即∠AEF=90°；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AE=$\frac{AB}{cos∠BAE}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∵∠AEF=90°，∠FAE=∠BAE=30°，
∴EF=AE•tan∠FAE=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4．

点评 本题考查了矩形的性质、梯形中位线定理、平行线的性质、直角三角形的判定方法、三角函数；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．