Question

1．在正方形ABCD中，O是对角线AC中点，PF丄CD于点F，PE丄PB，求证：DF=EF．

Answer 1

分析 延长FP交AB于G，根据正方形的性质和已知推出矩形AGFD，得到DF=AG，证∠GBP=∠FPE，推出Rt△GBP≌Rt△FPE，推出EF=PG，根据等腰三角形的性质求出即可．

解答 证明：延长FP交AB于G，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠D=90°（正方形的四个内角都是直角），
∵PF⊥CD，
∴∠DFG=90°，
∴四边形AGFD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴DF=AG，∠AGF=90°，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC=45°，
∴△AGP是等腰直角三角形，即AG=GP，
∴GP=DF，
同理CF=PF=BG，
∵∠GPB+∠FPE=90°，∠GPB+∠GBP=90°，
∴∠GBP=∠FPE，
在Rt△GBP和Rt△FPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GBP=∠FPE}\\{BG=PF}\\{∠BGP=∠PFE}\end{array}\right.$，
∴Rt△GBP≌Rt△FPE（ASA），
∴GP=EF，
∴DF=EF．

点评 本题主要考查等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、正方形的性质等知识点的连接和掌握，特别是通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．