Question

7．如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的⊙O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与⊙O的交点，连接AF．
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明CB是⊙O的切线，只要证明BC⊥OB，可以证明△CDO≌△CBO解决问题．
（2）首先证明S_阴=S_扇形ODF，然后利用扇形面积公式计算即可．

解答 （1）证明：连接OD，与AF相交于点G，
∵CE与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∴∠CDO=90°，
∵AD∥OC，
∴∠ADO=∠DOC，∠DAO=∠BOC，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠DOC=∠BOC，
在△CDO和△CBO中，\
$\left\{\begin{array}{l}{CO=CO}\\{∠DOC=∠BOC}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠CBO=∠CDO=90°，
∴CB是⊙O的切线．
（2）由（1）可知∠DOA=∠BCO，∠DOC=∠BOC，
∵∠ECB=60°，
∴∠DCO=∠BCO=$\frac{1}{2}$∠ECB=30°，
∴∠DOC=∠BOC=60°，
∴∠DOA=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD=OD=OF，∵∠GOF=∠ADO，
在△ADG和△FOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GOF=∠ADG}\\{∠FGO=∠AGD}\\{AD=OF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△FOG，
∴S_△ADG=S_△FOG，
∵AB=6，
∴⊙O的半径r=3，
∴S_阴=S_扇形ODF=$\frac{60π•{3}^{2}}{360}$=$\frac{3}{2}$π．

点评 本题考查切线的性质和判定、扇形的面积公式，记住切线的判定方法和性质是解决问题的关键，学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积，属于中考常考题型．