Question

17．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2，OA和AB的长度是关于x的一元二次方程x²-4x+a=0的两个实数根．
（1）求弦AB的长度；    
（2）计算S_△AOB；
（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动一周，当S_△POA=S_△AOB时，求P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）．

Answer 1

分析 （1）OA和AB的长度是一元二次方程的根，所以利用韦达定理即可求出AB的长度．
（2）作出△AOB的高OC，然后求出OC的长度即可．
（3）由题意知：两三角形有公共的底边，要面积相等，即高要相等．

解答 解：（1）由题意知：OA和AB的长度是x²-4x+a=0的两个实数根，
∴OA+AB=-$\frac{-4}{1}$=4，
∵OA=2，
∴AB=2；

（2）过点C作OC⊥AB于点C，
∵OA=AB=OB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=1
在Rt△ACO中，
由勾股定理可得：OC=$\sqrt{3}$
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$

（3）延长AO交⊙O于点D，
由于△AOB与△POA有公共边OA，
当S_△POA=S_△AOB时，
∴△AOB与△POA高相等，
由（2）可知：等边△AOB的高为$\sqrt{3}$，
∴点P到直线OA的距离为$\sqrt{3}$，这样点共有3个
①过点B作BP₁∥OA交⊙O于点P₁，
∴∠BOP₁=60°，
∴此时点P经过的弧长为：$\frac{240°π×2}{180°}$=$\frac{8π}{3}$，
②作点P₂，使得P₁与P₂关于直线OA对称，
∴∠P₂OD=60°，
∴此时点P经过的弧长为：$\frac{120°π×2}{180°}$=$\frac{4}{3}$π，
③作点P₃，使得B与P₃关于直线OA对称，
∴∠P₃OP₂=60°，
∴此时P经过的弧长为：$\frac{60°π×2}{180°}$=$\frac{2π}{3}$，
综上所述：当S_△POA=S_△AOB时，P点所经过的弧长分别是$\frac{4}{3}π$、$\frac{8}{3}π$、$\frac{2π}{3}$．

点评 此题考查了一元二次方程与圆的综合知识．涉及等边三角形性质，圆的对称性等知识，对学生综合运用知识的能力要求较高．故要求学生把所学知识融汇贯穿，灵活运用．