题目内容
10．在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）；连接AC，请你直接写出△ACE为等腰三角形时CE：CD的值；
（3）如图3，当E，F分别在直线DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最大值．
分析 （1）根据正方形的性质得出AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，求出DE=CF，根据SAS推出△ADE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出AE=DF，∠DAE=∠FDC即可；
（2）有两种情况：①当AC=CE时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=CE=$\sqrt{2}$a即可；②当AE=AC时，设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理求出AC=AE=$\sqrt{2}$a，根据正方形的性质∠ADC=90°，根据等腰三角形的性质得出DE=CD=a即可；
（3）根据（1）（2）知：点P在运动中保持∠APD=90°，得出点P的路径是以AD为直径的圆，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，求出QC即可．
解答 解：（1）AE=DF，AE⊥DF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，
∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动，
∴DE=CF，
在△ADE和△DCF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADE=∠DCF}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF，
∴AE=DF，∠DAE=∠FDC，
∵∠ADE=90°，
∴∠ADP+○CDF=90°，
∴∠ADP+∠DAE=90°，
∴∠APD=180°-90°=90°，
∴AE⊥DF；
（2）
（1）中的结论还成立，CE：CD=$\sqrt{2}$或2，
理由是：有两种情况：
①如图1，当AC=CE时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=CE=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
则CE：CD=$\sqrt{2}$a：a=$\sqrt{2}$；
②如图2，当AE=AC时，
设正方形ABCD的边长为a，由勾股定理得：AC=AE=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，即AD⊥CE，
∴DE=CD=a，
∴CE：CD=2a：a=2；
即CE：CD=$\sqrt{2}$或2；
（3）∵点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是以AD为直径的圆，
如图3，设AD的中点为Q，连接CQ并延长交圆弧于点P，此时CP的长度最大，
∵在Rt△QDC中，QC=$\sqrt{C{D}^{2}+Q{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CP=QC+QP=$\sqrt{5}$+1，
即线段CP的最大值是$\sqrt{5}$+1．
点评 本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，用了分类讨论思想，难度偏大．
有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：
如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为（ ）
如图，已知△ABC是⊙O的圆内接三角形，AD为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，AE交⊙O于点F，∠C=∠E．
如图，一点光源在（0，3）处，沿所示的方向发射，长方形四条边上有四个平面镜，与坐标平面垂直放置，设第一个入射点P1坐标为（3，0），则第二个入射点P2（6，3），第三个入射点P3（3，6），作出光路图，并写出第2013个入射点P2013（3，0）