Question

5．如图，已知△ABC是⊙O的圆内接三角形，AD为⊙O的直径，DE为⊙O的切线，AE交⊙O于点F，∠C=∠E．
（1）求证：AB=AF；
（2）若AB=5，AD=$\frac{25}{4}$，求线段DE的长．

Answer 1

分析 （1）证明；如图1，连接BF，由圆周角定理得到∠AFB=∠C，根据平行线的判定和性质定理得到AD⊥BF，AD平分BF，于是得到结果．
（2）连接BD，通过证明△ABD∽△ADE，得到比例式，即可得到结果．

解答 （1）证明：如图1，连接BF，∴∠AFB=∠C，
∵∠C=∠E，
∴∠AFB=∠E，
∴BF∥DE，
∵DE为⊙O的切线，AD为⊙O的直径，
∴AD⊥DE，
∴AD⊥BF，
∴AD平分BF，
∴AB=AF；

（2）解：如图2，连接BD，
∴∠C=∠ADB，
∵∠C=∠E，
∴∠ADB=∠E，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠ADE，
∴△ABD∽△ADE，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴AE=$\frac{125}{16}$，
∴DE=$\sqrt{{AE}^{2}{-AD}^{2}}$=$\frac{75}{16}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．