Question

8．如图，已知在平面直角坐标系中，x轴上依次有点A₁（2，0），A₂（4，0），A₃（6，0），…，抛物线l₁：y=x²+bx+c经过原点及A₁，顶点为B₁；抛物线l₂经过B₁和A₁，且形状与抛物线l₁的形状相同，开口方向相反；抛物线l₃经过A₁和A₂，且形状与抛物线l₂的形状相同，开口方向相反，顶点为B₂：抛物线l₄经过B₂和A₂，且形状与抛物线l₃的形状相同，开口方向相反：抛物线l₅经过A₂和A₃，且形状与抛物线l₄的形状相同，开口方向相反，顶点为B₃：依此类推…
（1）直接写出B₁的坐标；
（2）求出抛物线l₂的函数解析式．
（3）根据你探索的规律，写出抛物线l_n的函数解析式；
（4）如果将这些抛物线的顶点顺次连接起来，那么每两条相邻的线段存在什么样的关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把（0，0），A₁（2，0）代入抛物线l₁：y=x²+bx+c，求出b，c的值，进而可得出其顶点坐标；
（2）设抛物线l₂的解析式为y=-x²+bx+c，再把A₁（2，0），B₁（1，-1）代入求出其解析式即可；
（3）同（2）得出抛物线线l₃，l₄的解析式，找出规律即可得出结论；
（4）根据各抛物线的解析式得出其顶点坐标，根据各坐标之间的关系即可得出结论；

解答 解：（1）∵抛物线l₁：y=x²+bx+c经过原点及A₁（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ 4+2b+c=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}c=0\\ b=-2\end{array}\right.$，
∴抛物线l₁的解析式为y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴B₁（1，-1）；
（2）∵抛物线l₂经过B₁和A₁，且形状与抛物线l₁的形状相同，
∴设抛物线l₂的解析式为y=-x²+bx+c．
∵A₁（2，0），B₁（1，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}-4+2b+c=0\\-1+b+c=-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=4\\ c=-4\end{array}\right.$，
∴抛物线l₂的解析式为：y=-x²+4x-4；
（3）∵同（2）可得，抛物线l₃的解析式为y=x²-6x+8；抛物线l₄的解析式为y=-x²+8x-16，
∴抛物线l_n的解析式为y=（-1）ⁿ⁺¹x²+（-1）ⁿ•2nx+（-1）ⁿ⁺¹•2ⁿ（n≥2）；
（4）∵抛物线l₁的解析式为y=x²-2x，抛物线l₂的解析式为：y=-x²+4x-4，抛物线l₃的解析式为y=x²-6x+8；抛物线l₄的解析式为y=-x²+8x-16，…，
∴这些抛物线的顶点坐标为（1，-1），（2，0），（3，-1），（4，0），…，
∴这些相邻的线段长度相等，且互相垂直．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式以及规律中的图形的变化类，解题的关键：利用待定系数法求出函数解析式以及根据点的坐标判断其位置关系．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．