Question

14．已知二次函数y=3ax²+2bx+c
（1）若c=-2，该二次函数图象与x轴交点的坐标为（2，0），（-1，0），求此二次函数的最值；
（2）若a+b+c=0，且x₁=0时，对应的y₁＞0；x₂=1时，对应的y₂＞0，请你先判断a，c的大小关系；再判断当0＜x＜1时抛物线与x轴是否有公共点，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法列出方程组即可解决问题．
（2）首先判断C的符号，由  3a+2b+c＞0，又a+b+c=0，所以b=-a-c，得到3a+2b+c=3a+2（-a-c）+c=a-c＞0，即可判定a＞c＞0，b＜0，再利用根的判别式，以及顶点坐标公式即可解决问题．

解答 解（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{12a+4b-2=0}\\{3a-2b-2=0}\end{array}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$
∴$y={x^2}-x-2={（x-\frac{1}{2}）^2}-\frac{9}{4}$
∵抛物线开口向上
∴当$x=\frac{1}{2}$时，y有最小值$-\frac{9}{4}$．

（2）∵当x₁=0时，y₁＞0；x₂=1时，y₂＞0
∴c＞0；   3a+2b+c＞0，
又∵a+b+c=0，
∴b=-a-c
∴3a+2b+c=3a+2（-a-c）+c=a-c＞0
∴a＞c＞0，b＜0
∵△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[（a-c）²+ac]＞0，
∴抛物线y=3ax²+2bx+c与x轴有两个公共点
∵抛物线的顶点$（-\frac{b}{3a}；-\frac{{12ac-4{b^2}}}{12a}）$
∵$-\frac{b}{3a}＞0；\frac{{12ac-4{b^2}}}{12a}＜0$
∴抛物线的顶点在第四象限
∵抛物线的对称轴$x=-\frac{b}{3a}$，
由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得-2a＜b＜-a．（由b=-a-c，c＞0，可知b＜-a）
∴$\frac{1}{3}＜-\frac{b}{3a}＜\frac{2}{3}$．
∵当x₁=0时，y₁=c＞0；x₂=1时，y₀=3a+2b+c＞0，
观察图象，可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点问题，根的判别式、顶点坐标公式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．