Question

19．在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．

Answer 1

分析 由题意可设AP=2tcm，DQ=tcm，又由AB=12cm，AD=6cm，即可求得AQ的值，然后分别从①当$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{AP}{AB}$时，△APQ∽△ABD；与②当$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AD}$时，△APQ∽△ADB，然后利用方程即可求得t的值．

解答 解：设AP=2tcm，DQ=tcm，
∵AB=12cm，AD=6cm，
∴AQ=（6-t）cm，
∵∠A=∠A，
∴①当 $\frac{AQ}{AD}$=$\frac{AP}{AB}$时，△APQ∽△ABD，
∴$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2t}{12}$，
解得：t=3；
②当 $\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AP}{AD}$时，△APQ∽△ADB，
∴$\frac{6-t}{12}$=$\frac{2t}{6}$，
解得：t=1.2．
∴当t=3或1.2时，△APQ与△ABD相似．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度较大，解题的关键是注意分类讨论思想、方程思想与数形结合思想的应用．