Question

9．如图，四边形ABCD是矩形，AD=2AB，AB=6，E为AD中点，M为CD上的任意一点，PE⊥EM交BC于点P，EN平分∠PEM交BC于点N．
（1）若△PEN为等腰三角形，请直接写出∠DEM所有可能的值；
（2）当DM=1时，求PN的值；
（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG．当时，求DK+KG+GP的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）根据△PEN为等腰三角形，分PE=PN，PE=EN，PN=EN三种情况求出∠DEM所有可能的值即可；
（2）如图1，过E作EF⊥BC于F，连接MN，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形PEF与三角形MED全等，利用全等三角形对应边相等得到PE=DM=1，EP=EM，再利用SAS得到三角形EPN与三角形EMN全等，利用全等三角形对应边相等得到MN=PN，即可求出PN的长；
（3）如图2，易知DK=$\frac{1}{2}$EM，PG=$\frac{EP}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EM，连接GM，利用SAS得到三角形EPG与三角形PEG全等，利用全等三角形对应角相等，表示出GK，分别代入原式变形后，根据EM的范围求出最大值与最小值即可．

解答 解：（1）若△PEN为等腰三角形，∠DEM所有可能的值为0°，22.5°，45°；
（2）如图1，过E作EF⊥BC于F，连接MN，
∵EF⊥AD，PE⊥EM，
∴∠PEF+∠FEM=90°，∠FEM+∠DEM=90°，
∴∠PEF=∠MED，
∵AD=2AB，E为AD中点，且EF=AB，
∴EF=ED，
在△PEF和△MED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEF=∠MED}\\{EF=ED}\\{∠EFP=∠D=90°}\end{array}\right.$，
∴△EPF≌△EMD（ASA），
∴PF=DM=1，EP=EM，
在△EPN和△EMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{EP=EM}\\{∠PEN=∠MEN}\\{EN=EN}\end{array}\right.$，
∴△EPN≌△EMN（SAS），
∴MN=PN，
在△CMN中，由勾股定理有CN²+CM²=MN²，即（7-PN）²+5²=PN²，
解得：PN=$\frac{37}{7}$；
（3）如图2，易知DK=$\frac{1}{2}$EM，PG=$\frac{EP}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EM，
连接GM，
在△EMG和△EPG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EP=EM}\\{∠PEG=∠MEG}\\{EG=EG}\end{array}\right.$，
∴△EMG≌△EPG（SAS），
∴∠EGM=∠EGP=90°，
∴GK=$\frac{1}{2}$EM，
∴DK+KG+GP=$\frac{1}{2}$EM+$\frac{1}{2}$EM+$\frac{\sqrt{2}}{2}$EM=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）EM（6≤EM≤6$\sqrt{2}$），
则DK+KG+GP的最大值为6+6$\sqrt{2}$，最小值为6+3$\sqrt{2}$．

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．