Question

9．正方形OA₁B₁C₁、A₁A₂B₂C₂、A₂A₃B₃C₃┅按如图放置，其中点A₁、A₂、A₃┅在x轴的正半轴上，点B₁、B₂、B₃┅在直线y=-x+2上，则点A₃的坐标为（$\frac{7}{4}$，0），则点A_n的坐标为（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，0）．

Answer 1

分析 先根据直线的解析式，分别求得B₁，B₂，B₃…的坐标，再根据得到的规律，求得A₁，A₂，A₃…的坐标，最后根据得到的规律，进行求解．

解答 解：∵四边形OA₁B₁C₁是正方形，
∴A₁B₁=B₁C₁．
∵点B₁在直线y=-x+2上，
∴设B₁的坐标是（x，-x+2），
∴x=-x+2，x=1．
∴B₁的坐标是（1，1）．
∴点A₁的坐标为（1，0）．
∵A₁A₂B₂C₂是正方形，
∴B₂C₂=A₁C₂，
∵点B₂在直线y=-x+2上，
∴B₂C₂=B₁C₂，
∴B₂C₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{2}$，
∴OA₂=OA₁+A₁A₂=1+$\frac{1}{2}$，
∴点A₂的坐标为（1+$\frac{1}{2}$，0）．
同理，可得到点A₃的坐标为（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$，0），即A₃的坐标为（$\frac{7}{4}$，0）．
依此类推，可得到点A_n的坐标为（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，0），
而1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，
故A_n的坐标为（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，0）．
故答案是：（$\frac{7}{4}$，0），（$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，0）

点评 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，需要根据一次函数的性质和坐标的变化规律进行判断分析，正确得到点的坐标变化规律是关键．解题时注意，正方形的四条边都相等，四个角都是直角．