Question

20．如图，函数y=$\frac{k}{x}（x＞0）$的图象经过点A，B，点B的坐标为（1，1），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，连接AD，BC．若AD∥BC，则线段BC的长度为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由点B（1，1）求得y=$\frac{1}{x}$，设A点的坐标为：（m，$\frac{1}{m}$），则C点的坐标为：（m，0），tan∠ADF=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{\frac{1}{m}-1}{m}$，tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$=$\frac{\frac{1}{m}}{1}$=$\frac{1}{m}$，进而求出m的值，即可得出答案．

解答 解：延长AD交x轴于E，设AC，BD交于F，
∵点B（1，1）在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴k=1，则y=$\frac{1}{x}$，
设A点的坐标为：（m，$\frac{1}{m}$），则C点的坐标为：（m，0），
∵BD∥CE，且BC∥DE，
∴四边形BCED为平行四边形，
∴CE=BD=1，
∵BD∥CE，
∴∠ADF=∠AEC，
∴在Rt△AFD中，tan∠ADF=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{\frac{1}{m}-1}{m}$，
在Rt△ACE中，tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$=$\frac{\frac{1}{m}}{1}$=$\frac{1}{m}$，
∴$\frac{\frac{1}{m}-1}{m}=\frac{1}{m}$，
解得：m=$\frac{1}{2}$，
∴C点的坐标为：（$\frac{1}{2}$，0），
则BC=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及锐角三角函数关系等知识，得出A，D点坐标是解题关键．