Question

16．已知在直角坐标系中，抛物线y=ax²-8ax+3（a＜0）与y轴交于点A，顶点为D，其对称轴交x轴于点B，点P在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧．
（1）当AB=BD时（如图），求抛物线的表达式；
（2）在第（1）小题的条件下，当DP∥AB时，求点P的坐标；
（3）点G在对称轴BD上，且∠AGB=$\frac{1}{2}$∠ABD，求△ABG的面积．

Answer 1

分析 （1）用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标，对称轴，利用两点间距离，即可；
（2）先确定出直线AB解析式，再由DP∥AB确定出直线DP解析式，利用方程组确定出交点坐标；
（3）利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决，（选用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的线段作为底）．

解答 解：（1）∵y=ax²-8ax+3=a（x-4）²+3-16a，
∴对称轴为x=4，B（4，0），A（0，3），
∴AB=5，
∵AB=BD，
∴BD=5，
∵抛物线的顶点为D，其对称轴交x轴于点B，
∴3-16a=BD=5，
∴a=-$\frac{1}{8}$，
∴y=-$\frac{1}{8}$x²+x+3，
（2）∵B（4，0），A（0，3），
∴直线AB解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵DP∥AB，
设直线DP解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+b，
∵D（4，5）在直线DP上，
∴b=8，
∴直线DP解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+8}\\{y=-\frac{1}{8}{x}^{2}+x+3}\end{array}\right.$，
∴x₁=10，x₂=4（舍），
∴P（10，$\frac{1}{2}$）；
（3）如图

①以B为圆心，BA为半径作圆，交DB延长线于G₁，
∵BG=AB，
∴∠BAG₁=∠BG₁A，
∴∠AGB=$\frac{1}{2}$∠ABD，
∵AB=5，点G在对称轴BD上x=4，
∴G₁（4，-5），
∴S_△ABG1=$\frac{1}{2}$×BG₁×AH=$\frac{1}{2}$×5×4=10；
②以A为圆心，AG₁为半径作圆，交BD延长线于G₂，
过点A作AH⊥BD于H，
∴HG₂=HG₁=BH+BG₁=8，
∴BG₂=11，
∴G₂（4，11），
S_△ABG2=$\frac{1}{2}$×BG₂×AH=$\frac{1}{2}$×11×4=22；
即：S_△ABG=10或22，

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般形式化成顶点形式的方法，图象交点坐标的确定，两直线平行的特点，坐标系中确定三角形面积的常用方法，解本题的关键是确定出抛物线的解析式．