Question

16．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+3，与x轴交于点B（-2，0）和C，与y轴交于点A，点M在y轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结BM并延长，交抛物线于D，过点D作DE⊥x轴于E．当以B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似时，求点M的坐标；
（3）连结BM，当∠OMB+∠OAB=∠ACO时，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，首先证明△AOC是等腰直角三角形，由OM∥DE，推出△BMO∽△BDE，要使B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似，只要△BOM∽△AOC，设M（0，m），可得$\frac{OM}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，可得$\frac{|m|}{2}$=$\frac{3}{3}$，解方程即可．
（3）如图2中，作AG⊥AC交x轴于G，BF⊥AG于F．首先证明∠FAB=∠OMB，设M（n，0），由△AFB∽△MOB，得$\frac{OM}{AF}$=$\frac{OB}{FB}$，由此列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）将点B（-2，0）代入抛物线的解析式y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+3得
-$\frac{1}{2}$×（-2）²-2b+3=0，
∴b=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3．

（2）如图1中，

∵抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3，与x轴交于B（-2，0），A（3，0），C（0，3），
∴OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵OM∥DE，
∴△BMO∽△BDE，
∵要使B、D、E为顶点的三角形与△AOC相似，
∴只要△BOM∽△AOC，设M（0，m），
∴$\frac{OM}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，
∴$\frac{|m|}{2}$=$\frac{3}{3}$，
∴m=±2，
∴点M的坐标为（0，2）或（0，-2）．

（3）如图2中，作AG⊥AC交x轴于G，BF⊥AG于F．

∵OA=OC，∠AOC=∠GAC=90°，
∴∠OAC=∠ACO=∠OAG=45°，
∵∠OMB+∠OAB=∠ACO=45°，
∴∠FAB=∠OMB，设M（n，0），
∵∠AFB=∠BOM=90°，
∴△AFB∽△MOB，
∴$\frac{OM}{AF}$=$\frac{OB}{FB}$，∵FB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AF=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，OB=2，
∴$\frac{|n|}{\frac{5\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
∴n=±10，
∴点M的坐标为（0，10）或（0，-10），
∴AM=7或13．

点评 本题考查二次函数综合题、等腰直角三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．