Question

6．已知AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，BC=6，cos∠BAC=$\frac{4}{5}$，则EF的长是（　　）

• A． 1
• B． 4-$\sqrt{10}$
• C． 5-$\sqrt{10}$
• D． $\sqrt{10}$-1

Answer 1

分析 连接BE，由三角形的内心得出∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，得出∠DBC=∠BAD，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，所以可得BD=BE，连接OB，由三角形的内心性质得出∠BAD=∠CAD，由圆周角定理得出，由垂径定理得出BF=$\frac{1}{2}$BC=3，由圆周角定理得出∠BOD=2∠BAD=∠BAC，由三角函数得出OB=5，再由勾股定理求出OF，得出DF，再由勾股定理求出BD，得出ED，即可得出结果．

解答 解：连接BE，
∵E是△ABC的内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD，
∵∠DBC=∠CAD，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠DBE=∠DBC+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴BD=ED，
连接OB，∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$
∴BF=$\frac{1}{2}$BC=3，∠BOD=2∠BAD=∠BAC，
∵AE过点O，
∴AD⊥BC，
∴∠EFB=90°，
∵cos∠BAC=$\frac{4}{5}$，
∴sin∠BAC=sin∠BOD=$\frac{3}{5}$，
∴OB=5，
∴OD=5，
∴OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=4，
∴DF=OD-OF=1，
∴BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴ED=BD=$\sqrt{10}$，
∴EF=DE-DF=$\sqrt{10}$-1，
故选D．

点评 本题考查了三角形的内心性质、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、勾股定理、垂径定理、三角函数等知识；本题有一定难度，需要运用垂径定理和两次运用勾股定理才能得出结果．