Question

16．如图，O是∠MAN的边AN上一点，以OA为半径作⊙O，交∠MAN的平分线于点D，DE⊥AM于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，若∠EDA=30°，AE=1，求OE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，欲证DE是⊙O的切线，只需证明OD⊥DE即可；
（2）由∠EDA=30°，AE=1，易得AD=2，DE=$\sqrt{3}$，∠ADO=60°，进一步得出△ADO为等边三角形，得出OD=2，然后根据勾股定理即可求得OE．

解答 （1）证明：连接OD．
∵AD平分∠MAN，
∴∠EAD=∠OAD．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD．
∴∠EAD=∠ODA．
∵DE⊥AM于E，
∴∠AED=90°．
∴∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠ODA+∠EDA=90°．
∴OD⊥ED．
∴DE是⊙O的切线． 

（2）解：∵∠EDA=30°，
∴∠ODA=60°．
∵OA=OD，
∴△ADO为等边三角形．
在Rt△AED中，AE=1，可得AD=2，$ED=\sqrt{3}$．
∴OD=AD=2．
在Rt△ODE中，由勾股定理可得$OE=\sqrt{7}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识点．