Question

2．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B、C、E在同一直线上，AC与BD相交于M，DC与AE相交于点N．
（1）求证：BD=AE；
（2）△CMN是什么三角形？为什么？

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质证明△BCD≌△ACE就可以得出结论；
（2）△CMN是等边三角形，由△BCD≌△ACE可知∠CBM=∠CAN，根据ASA可证明△BCM≌△ACN，得到CM=CN，又∠MCN=60°，可知△CMN是等边三角形．

解答 （1）证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∵∠ACB+∠ACD++∠DCE=180°，
∴∠ACD=60°，∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，
即∠BCD=∠ACE．
在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD；
（2）△CMN是等边三角形；
证明：∵△BCD≌△ACE，
∴∠CBM=∠CAN．
在△BCM和△ACN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠CAN}\\{BC=AC}\\{∠ACB=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△ACN，
∴CM=CN，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠MCN=60°，
∴△CMN是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用．线段相等问题常常运用全等解决．