Question

14．如图，AC⊥BD，AD平分∠BAC，DE⊥AB．试判断下面四个结论中哪些成立，哪些不成立．成立的，请说明理由；不成立的，请你在原有条件基础上再添加条件使之成立，并证明．（1）AD平分∠CDE；（2）∠BAC=∠BDE；（3）DE平分∠ADB；（4）BD+AC＞AB．

Answer 1

分析 （1）证明△AED≌△ACD，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）根据同角的余角相等证明；
（3）添加条件∠BAC=60°，根据等腰三角形三线合一证明；
（4）根据全等三角形的性质和直角三角形的性质证明．

解答 证明：（1）在△AED和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠ACD=90°}\\{∠EAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△ACD，
∴∠EDA=∠CDA，
∴AD平分∠CDE；
（2）∵∠BAC+∠B=90°，∠BDE+∠B=90°，
∴∠BAC=∠BDE；
（3）不成立，添加条件：∠BAC=60°，
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠B=30°，又DE⊥AB，
∴DE平分∠ADB；
（4）由（1）得，AC=AE，
∵DE⊥AB，∴BD＞BE，
BD+AC=BD+AE＞BE+AE=AB，
∴BD+AC＞AB．

点评 本题考查的是角平分线的定义和性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理和定义是解题的关键．