Question

10．如图所示，△ABC的角平分线AD，BE相交于点F，∠C=60°，求证：AB=AE+BD．

Answer 1

分析 在AB上取点M使AM=AE，判定△AMF≌△AEF，由AD、BE是△ABC的角平分线，∠C=60°得∠AFM=∠AFE=180°-∠AFB=60°，∠BFM=180°-（∠AFM+∠AFE）=60°，∠BFD=∠AFE=60°∴∠BFM=∠BFD，由ASA判定△BFM≌△BFD，则BD=BM，所以AB=AM+BM=AE+BD．

解答 证明：在AB上取点M使AM=AE，连接FM
∵∠C=60°，AD、BE是△ABC的角平分线，
∴∠MBF=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BAF+∠MBF=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠C）=60°，
∴∠AFB=120°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAM=∠FAE，
在△AMF和△AEF中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠FAM=∠FAE}\\{AM=AE}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△AEF，
∴∠AFM=∠AFE=180°-∠AFB=60°，
∴∠BFM=180°-（∠AFM+∠AFE）=60°，∠BFD=∠AFE=60°，
∴∠BFM=∠BFD，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠MBF=∠DBF，
在△BFM和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BF=BF}\\{∠MBF=∠DBF}\\{∠BFD=∠BFM=60°}\end{array}\right.$，
∴△BFM≌△BFD，
∴BM=BD，
∴AB=AM+BM=AE+BD．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，通过作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．