Question

17．△ABC中，AB=1，AC、BC是关于x的一元二次方程（m+5）x²-（2m-5）x+12=0两个根，外接圆O的面积为$\frac{π}{4}$，求m的值．

Answer 1

分析 设△ABC外接圆的半径为r，则πr²=$\frac{π}{4}$，得出r=$\frac{1}{2}$，得出AB为外接圆O的直径，证出△ABC是直角三角形，由根与系数关系得出AC+BC=$\frac{2m-5}{m+5}$，AC•BC=$\frac{12}{m+5}$，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：设△ABC外接圆的半径为r，则πr²=$\frac{π}{4}$，
解得：r=$\frac{1}{2}$，
∵AB=1=2r，
∴AB为外接圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
即△ABC是直角三角形，
∴AC²+BC²=AB²，
∵AC、BC是关于x的一元二次方程（m+5）x²-（2m-5）x+12=0两个根，
∴AC+BC=$\frac{2m-5}{m+5}$，AC•BC=$\frac{12}{m+5}$，
∴（$\frac{2m-5}{m+5}$）²-2×$\frac{12}{m+5}$=1²，
解得：m=20，或m=-2（不合题意，舍去），
即m的值为20．

点评 本题考查了三角形的外接圆半径、圆周角定理、直角三角形的判定、根与系数的关系等知识；熟练掌握圆周角定理，根据勾股定理得出关于m的方程是解决问题的关键．