Question

15．已知关于x的方程x²-2kx+k²-k=0有两个实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若函数y=x₁+x₂-x₁x₂+1．求函数y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据△的意义由方程x²-2kx+k²-k=0有两个实数根x₁、x₂得到△≥0，即4k²-4（k²-k）≥0，解不等式即可得到k的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=2k，x₁x₂=k²-k，则y=x₁+x₂-x₁x₂+1=2k-（k²-k）+1=-（k-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{13}{4}$，利用二次函数的性质，当k=$\frac{3}{2}$时，y的值最大为$\frac{13}{4}$．

解答 解：（1）∵方程x²-2kx+k²-k=0有两个实数根x₁、x₂，
∴△≥0，即4k²-4（k²-k）≥0，解得k≥0，
即k的取值范围为k≥0；

（2）根据根与系数的关系得，x₁+x₂=2k，x₁x₂=k²-k，
y=x₁+x₂-x₁x₂+1
=2k-（k²-k）+1
=-（k-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{13}{4}$，
当k=$\frac{3}{2}$时，y的值最大，此时y=$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次函数的性质．