Question

2．已知：二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点A、点B的横坐标是一元二次方程x²-4x-12=0的两个根．
（1）请直接写出点A、点B的坐标．
（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．
（3）如图，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，那个说明理由．

Answer 1

分析 （1）解一元二次方程x²-4x-12=0，求出点A和点B的横坐标，进而得到答案；
（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax²+bx+6，得到a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可，进而求出顶点坐标；
（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，求出C′坐标，求出直线AC′解析式，进而求出点P的坐标．

解答 解：（1）解方程x²-4x-12=0得x₁=-2，x₂=6，
即A（-2，0），B（6，0）；

（2）将A、B两点坐标代入二次函数y=ax²+bx+6，
得到$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+6=0}\\{36a+6b+6=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，
由于y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
即抛物线的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，8）；

（3）如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′，交抛物线对称轴于P点，连接CP，
∵C（0，6），
∴C′（4，6），
设直线AC′解析式为y=kx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+n=0}\\{4k+n=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴y=x+2，
当x=2时，y=4，
即P（2，4）．

点评 本题主考查了二次函数的综合题，此题涉及到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、解一元二次方程以及轴对称轴的性质，解答本题的关键是作出点C关于抛物线对称轴的对称点C′，此题难度不大．