Question

如图，A、P、B、C是半径为8的⊙O上的四点，且△ABC为等边三角形．
（1）求∠P的度数及圆心O到BC的距离OD．
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：圆周角定理,等边三角形的性质,垂径定理

专题：计算题

分析：（1）连结OB，如图，根据等边三角形的性质得∠ABC=60°，再根据圆周角定理得到∠P=∠B=60°；接着根据等边三角形的性质得到点O为等边三角形ABC的内心，
则OB平分∠ABC，即∠OBD=30°，然后在Rt△OBD中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD=

1

2

OB=4；
（2）由垂径定理得BD=CD，而BD=

3

OD=4

3

，则BC=8

3

，然后根据等边三角形的面积公式计算．

解答：解：（1）连结OB，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠P=∠B=60°，
∵点O为等边三角形ABC的外心，
∴点O为等边三角形ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，即∠OBD=30°，
在Rt△OBD中，∵OB=8，
∴OD=

1

2

OB=4；
（2）∵OD⊥BC，
∴BD=CD，
∵BD=

3

OD=4

3

，
∴BC=8

3

，
∴△ABC的面积=

3

4

•（8

3

）²=48

3

．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等边三角形的性质．