Question

如图（1），在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点H是BC中点，过点H作DH⊥BC于H且与BA延长线相交于点D．
（1）图（1）中存在连接两点的线段等于DB，请画出此线段并说明理由；
（2）如图（1），当∠B=45°时，三条线段AB、AD、BC之间存在BC=AB+2AD，请给出证明；
（3）如图（2），当∠B=36°时，三条线段AB、AD、BC之间又存在何种确定的等量关系？请写出结论并证明．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）连接CD，利用条件可以证明CD=BD；
（2）过A作AE⊥BC，可知AD=AE=BE，利用勾股定理可找到AB和AE之间的关系，且BC=2HB=

2

BD，代入可证明结论；
（3）设DH、AC交于点O，过O作OG⊥BD，则OG=OH，且DG=AG，可得到AB、AD、BC之间的关系．

解答：（1）解：
如图1，连接CD，则CD=BD，理由如下：
∵DH⊥BC，且H为BC中点，
∴DC=DB；

（2）证明：
如图2，过A作AE⊥BC，
∵∠B=∠BDH=45°，
∴∠DCH=45°，
∴∠CDB=90°，
∵∠DCB=∠DBC=2∠ACB，
∴AC平分∠DCB，且AD⊥CD，
∴AD=AE=BE，
∴BH=

2

2

BD，AD=BE=

2

2

AB，
∴BC=2BH=

2

BD，
∵BD=AB+AD=AB+

2

2

AB，
∴

2

BD=

2

AB+AB=2AD+AB，
∴BC=AB+2AD；

（3）解：
设DH、AC交于点O，过O作OG⊥BD，连接OB，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=∠OBG=18°，
∴OG=OH，
在△OHB和△OGB中

∠OBH=∠OBG ∠OGB=∠OHB OH=OG

∴△OHB≌△OGB（AAS），
∴BH=BG，
∵∠DBH=36°，
∴∠D=∠OAD=54°，
∴OD=OA，
∴DG=GA，
∴BG=BA+

1

2

AD，
∵BH=CH，
∴BC=2BH=2BG=2AB+AD，
AB、AD、BC之间的关系为：BC=2AB+AD．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质，通过条件构造等腰三角形是解题的关键，注意全等三角形的判定和方法．