Question

18．[问题提出]：如图1，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？

[问题探究]：我们先从较为简单的情形入手．
（1）如图2，由2×1×1个小立方块组成的长方体中，长共有1+2=$\frac{2×3}{2}$=3条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3×1×1=3个长方体．
（2）如图3，由2×2×1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+2=$\frac{2×3}{2}$=3条线段，高有1条线段，所以图中共有3×3×1=9个长方体．
（3）如图4，由2×2×2个小立方体组成的正方体中，长、宽、高分别有1+2=$\frac{2×3}{2}$=3条线段，所以图中共有27个长方体．
（4）由2×3×6个小立方块组成的长方体中，长共有1+2=$\frac{3×2}{2}$=3条线段，宽共有6条线段，高共有21条线段，所以图中共有63个长方体．
[问题解决]
（5）由n×n×n个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有$\frac{n（n+1）}{2}$线段，所以图中共有$\frac{{n}^{3}（n+1）^{3}}{8}$个长方体．
[结论应用]
（6）如果由若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论．

Answer 1

分析 [问题探究]：
（3）如图4，把长、宽、高三边的线段条数相乘即可求解；
（4）先得到宽共有多少条线段，高共有多少条线段，再把长、宽、高三边的线段条数相乘即可求解；
（5）先根据数线段的方法得到长、宽、高三边的线段条数，再把它们相乘即可求解；
[结论应用]
（6）由（5）的结论，根据等量关系：由若干个小立方块组成的正方体中共有1000个长方体，列出方程求解即可．

解答 解：[问题探究]：
（3）3×3×3=27（个）．
答：图中共有27个长方体．
（4）4×3÷2=6（条），
7×6÷2=21（条），
3×6×21=378（个）．
答：宽共有6条线段，高共有21条线段，图中共有63个长方体．
（5）长、宽、高各有$\frac{n（n+1）}{2}$线段，所以图中共有[$\frac{n（n+1）}{2}$]³=$\frac{{n}^{3}（n+1）^{3}}{8}$个长方体．
[结论应用]
（6）依题意有：
[$\frac{n（n+1）}{2}$]³=1000，
$\frac{n（n+1）}{2}$=10，
解得n₁=4，n₂=-5（不合题意舍去），
4×4×4=64（个）．
答：组成这个正方体的小立方块的个数是64个．
故答案为：27；6，21，63；$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{{n}^{3}（n+1）^{3}}{8}$．

点评 考查了立体图形，组合图形中线段的计数，本题关键是得到n×n×n个小立方块组成的正方体中共有[$\frac{n（n+1）}{2}$]³个长方体．