Question

8．如图，在平面直角坐标中，点D在y轴上，以D为圆心，作⊙D交x轴于点E、F，交y轴于点B、G，点A在⊙D上，连接AB交x轴于点H，连接AF并延长到点C，使∠FBC=∠A．
（1）判断直线BC与⊙D的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BE²=BH•AB；
（3）若点E坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，-2），AB=8，求F与A两点的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先连接GF，由BG是⊙D直径，可得∠GFB=90°，然后由圆周角定理，求得∠FBC+∠GBF=90°，继而证得结论；
（2）首先连接AE，由垂径定理可得$\widehat{BE}$=$\widehat{BF}$，继而证得△BEH∽△BAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（3）首先过点A作AQ⊥GB于点Q，由垂径定理即可求得OE与OF的长，然后由勾股定理求得BH的长，再利用△BOH∽△BQA，求得答案．

解答 解：（1）直线BC与⊙D相切．
证明：如图，连接GF，
∵BG是⊙D直径，
∴∠GFB=90°，
∴∠BGF+∠GBF=90°，
∵∠BAF=∠BGF，∠FBC=∠A，
∴∠BGF=∠FBC，
∴∠FBC+∠GBF=90°，
即∠GBC=90°，
∴直线BC与⊙D相切；

（2）如图，连接AE，
∵BG⊥EF，BG是⊙D直径，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{BF}$，
∴∠BEH=∠BAE，
∵∠BAE=∠EAH，
∴△BEH∽△BAE，
∴$\frac{BE}{BH}$=$\frac{AB}{BE}$，
∴BE²=BH•AB；

（3）过点A作AQ⊥GB于点Q，
∵E（-4，0），根据垂径定理得OE=OF=4，
∴F（4，0），
∵BE²=BH•AB，BE²=OE²+OB²=16+4=20，AB=8，
∴BH=2.5，
得OH=1.5，
由△BOH∽△BQA得：$\frac{BO}{BQ}=\frac{OH}{AQ}=\frac{BH}{BA}$，
∴AQ=4.8，BQ=6.4，
∴OQ=4.4，
∴A（-4.8，4.4）或（4.8，4.4）

点评 此题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．