Question

13．如图在直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=x²-x-6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，如果点M在y轴右侧的抛物线上，S_△AMO=$\frac{2}{3}$S_△COB，那么点M的坐标是（1，-6）或（4，6）．

Answer 1

分析 令y=0，解方程求出A，B两点，再令x=0，求出C点坐标，设出M点坐标，根据它在抛物线上和S_△AMO=$\frac{2}{3}$S_△COB，这两个条件求出M点坐标．

解答 解：∵y=x²-x-6为抛物线，
∵抛物线y=x²-x-6与x轴交于A，B两点，
令y=0，设方程x²-x-6=0的两根为x₁，x₂，
∴x₁=-2，x₂=3，
∴A（-2，0），B（3，0），
设M点坐标为（a，a²-a-6），（a＞0）
∵S_△AMO=$\frac{2}{3}$S_△COB，
∴$\frac{1}{2}$×AO×|y_M|=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×OC×|x_B|，
∴$\frac{1}{2}$×2×|a²-a-6|=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×6×3，
解得，a₁=0，a₂=1，a₃=-3，a₄=4，
∵点M在y轴右侧的抛物线上，
∴a＞0，
∴a=1，或a=4，
a²-a-6=1²-1-6=-6，或a²-a-6=4²-4-6=6
∴M点坐标为（1，-6）或（4，6）．
故答案为：（1，-6）或（4，6）．

点评 本题考查了一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题，另外此题把三角形的面积关系式与函数的图象联系起来，计算量比较大，关键是利用三角形的几何关系来解题．