Question

2．如图1，二次函数y=ax²+bx-4$\sqrt{2}$（a≠0）的图象与x轴交于A（-8，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图2，连接AC、CD．求tan∠ACD的值；
（3）如图3，若点P是该二次函数图象上第三象限的一个动点，四边形PCDA的面积是否存在最大值，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-8，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-4$\sqrt{2}$得$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b-4\sqrt{2}=0}\\{16a+4b-4\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，解方程组即可．
（2）求出AD、DC，可知AD=DC，推出∠DCA=∠DAC，所以tan∠ACD=tan∠DAC=$\frac{OC}{OA}$，由此即可解决问题．
（3）存在．如图3中，连接AC、PO．因为△ADC的面积为定值，所以△APC面积最大时，四边形APCD的面积最大，设P（m，$\frac{\sqrt{2}}{8}$m²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$m-4$\sqrt{2}$），根据S_△PAC=S_{四边形APCO}-S_△AOC=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{\sqrt{2}}{8}$m²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m+4$\sqrt{2}$）+$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×（-m）-$\frac{1}{2}$×8×4$\sqrt{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m+4）²+8$\sqrt{2}$，由此利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）把A（-8，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-4$\sqrt{2}$
得$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b-4\sqrt{2}=0}\\{16a+4b-4\sqrt{2}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{2}}{8}}\\{b=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{\sqrt{2}}{8}$x²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-4$\sqrt{2}$．

（2）如图2中，

∵D（-2，0），C（0，-4$\sqrt{2}$），A（-8，0），B（4，0），
∴AD=6，OD=2，OC=4$\sqrt{2}$，DC=$\sqrt{{2}^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=6，
∴DA=DC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴tan∠ACD=tan∠DAC=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{4\sqrt{2}}{8}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

（3）存在．理由如下，
如图3中，连接AC、PO．

∵△ADC的面积为定值，∴△APC面积最大时，四边形APCD的面积最大，设P（m，$\frac{\sqrt{2}}{8}$m²+$\frac{\sqrt{2}}{2}$m-4$\sqrt{2}$），
∴S_△PAC=S_{四边形APCO}-S_△AOC=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{\sqrt{2}}{8}$m²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m+4$\sqrt{2}$）+$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×（-m）-$\frac{1}{2}$×8×4$\sqrt{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（m+4）²+8$\sqrt{2}$，
∵-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜0，
∴m=-4时，△APC的面积最大，即四边形APCD的面积最大，
∴P（-4，-4$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查二次函数的综合题、待定系数法、等腰三角形的判定、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．