Question

11．如图，△ABC与△BDE中，∠CAB=∠BDE=90°，AC=k•AB，DE=k•DB，P为CE中点，连接PA，PD，探究PA，PD的数量关系．

Answer 1

分析 根据已知条件AC=k•AB，DE=k•DB，得到△ABC∽△BDE，求出∠ABC=∠DBE，分别取BC，BE的中点M，N，连接AM，PM，DN，PN，根据三角形的中位线定理得到AM=PN=$\frac{1}{2}$BC，DN=PM=$\frac{1}{2}$BE，PM∥BN，PN∥BM，于是得到四边形PNBM是平行四边形，得到∠BMP=∠BNP，证得△AMP≌△PND，即可得到结论AP=DP．

解答 解：PA=PD，
∵AC=k•AB，DE=k•DB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{DE}{BD}=k$，
∵∠CAB=∠BDE=90°，
∴△ABC∽△BDE，
∴∠ABC=∠DBE，
分别取BC，BE的中点M，N，
连接AM，PM，DN，PN，
∵P为CE中点，
∴AM=PN=$\frac{1}{2}$BC，DN=PM=$\frac{1}{2}$BE，
∴PM∥BN，PN∥BM，
∴四边形PNBM是平行四边形，
∴∠BMP=∠BNP，
∵AM=BM．DN=BN，
∴∠ABM=∠MAB=∠NBD=∠NDB，
∴∠AMB=∠BND，
∴∠AMB+∠BMP=∠DNB+∠BNP，
即∠AMP=∠DNP，
在△AMP与△PND中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=PN}\\{∠AMP=∠PND}\\{PM=DN}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△PND，
∴AP=DP．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，正确的周长辅助线构造全等三角形是解题的关键．