Question

6．已知抛物线y=-（x-2）²+m²（常数＞0）的顶点为P．设此抛物线与x轴的两个交点从左至右依次为点A，B．又知∠APB=120°，则△APB的周长是$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$．

Answer 1

分析 求△ABP的周长，关键是确定三角形三顶点的坐标．可先根据抛物线的解析式用m表示出A、B两点的横坐标，那么AB的差就是这两个横坐标的差的绝对值，由于∠APB=90°，可得出△APB是等腰直角三角形，因此P点的纵坐标的绝对值应该是AB长的一半，由此可求出m的值，进而可求出A、B、P三点的坐标，即可求出△ABP的周长．

解答 解：设A、B两点坐标分别为A（x₁，0）、B（x₂，0）．
由-（x-2）²+m²=0，
∵m＞0，
∴x₁=-m+2，x₂=m+2．
AB=x₂-x₁=（m+2）-（-m+2）=2m．
∵P为抛物线的顶点．
又∵抛物线对称轴为AB的垂直平分线，设对称轴于AB交于点D，
∴∠PAB=30°．
∴AD=$\sqrt{3}$PD
∴2$\sqrt{3}$PD=AB．
即2$\sqrt{3}$m²=2m．
∵m＞0．
∴m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
由此可求得：AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AP=BP=$\frac{2}{3}$，
∴△APB的周长为$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}+4}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的性质以及一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）．