Question

4．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，扇形AEF的半径为2，圆心角为60°，则阴影部分的面积是$\frac{2}{3}π$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据菱形的性质得出△ADC和△ABC是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ADH≌△ACG，得出四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，进而求出即可．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D=60°，AB=AD=DC=BC=2，
∴∠BCD=∠DAB=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△ABC、△ADC都是等边三角形，
∴AC=AD=2，
∵AB=2，
∴△ADC的高为$\sqrt{3}$，AC=2，
∵扇形BEF的半径为1，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
设AF、DC相交于HG，设BC、AE相交于点G，
在△ADH和△ACG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{AC=AD}\\{∠D=∠1=60°}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△ACG（ASA），
∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S_扇形AEF-S_△ACD=$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}π$-$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}π$-$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD的面积等于△ABD的面积是解题关键．