Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，⊙B与边AB相交于点D，与边BC相交于点E，设⊙B的半径为x．
（1）当⊙B与直线AC相切时，求x的值；
（2）设DC的长为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）若以AC为直径的⊙P经过点E，求⊙P与⊙B公共弦的长．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理，求出AG，再由割线定理，求出BH即可；
（2）由相似得出比例式，表示出DF，CF，由勾股定理建立函数关系式；
（3）根据圆的性质求出BE，CE，再用△BQP∽△BGE，求出EG即可，

解答 解：（1）如图1，

作AG⊥BC，BH⊥AC，
∵AB=AC，AG⊥BC，
∴BG=CG=2，
∴AG=$\sqrt{A{C}^{2}-C{G}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵AG×BC=BH×AC，
∴BH=$\frac{AG×BC}{AC}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$，
∴当⊙B与直线AC相切时，x=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$；
（2）如图2，

作DF⊥BC，
∴DF∥AG，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{DF}{AG}$，
∴$\frac{x}{6}=\frac{DF}{4\sqrt{2}}$，
∴DF=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x，
∴CF=4-$\frac{1}{3}$x，
在Rt△CFD中，CD²=DE²+CF²，
∴y=$\sqrt{（4-\frac{1}{3}x）^{2}+（{\frac{2\sqrt{2}}{3}x）}^{2}}$=$\sqrt{x2-\frac{8}{3}x+16}$（0＜x≤4），
（3）①如图3，

作PQ⊥BC，连接PE，AE，
∵EF是⊙B，⊙P的公共弦，
∵⊙P经过点E，
∴PA=PE=PC，
∴AE⊥BC，
∵AC=AB，
∴BE=CE=2，
∵PQ∥AE，且P是AC中点，
∴PQ=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{2}$，CP=3，
∴CQ=1，BQ=3，
∴BP=$\sqrt{17}$，
∵EF是⊙P，⊙B的公共弦，
∴∠BGE=90°=∠BQP（两圆的连心线垂直于公共弦）
∵∠EBG=∠PBQ
∴△BQP∽△BGE，
∴$\frac{EG}{PQ}=\frac{BE}{BP}$，
∴$\frac{EG}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{17}}$，
∴EG=$\frac{4\sqrt{34}}{17}$，
∴EF=$\frac{8\sqrt{34}}{17}$；
②当点E，与点C重合时，EF=$\frac{16\sqrt{34}}{17}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是用圆中角的关系，判断三角形相似．