Question

8．定义：对角线互相垂直的凸四边形叫做“垂直四边形”．
（1）理解：
如图1，已知四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=7，求四边形ABCD的面积．
（2）探究：
小明对“垂直四边形”ABCD（如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和．即AB²+CD²=AD²+BC²．你认为他的发现正确吗？试说明理由．
（3）应用：
①如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A出发沿AB方向以每秒5个单位的速度向点B匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CA方向以每秒6个单位的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜1），连结CP，BQ，PQ．当四边形BCQP是“垂直四边形”时，求t的值．
②如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结EG．请直接写出线段EG与BC之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式计算；
（2）根据勾股定理列出算式，比较即可；
（3）①作PD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的性质用t表示出AP、CQ、AD、PD，根据垂直四边形的性质列出方程，解方程即可；
②作CP⊥AB于P，GH⊥EA交EA的延长线于H，证明△CAP≌△GAH，得到PC=GH，设CA=x，根据勾股定理分别用x表示出BC和EG，计算即可．

解答 解：（1）理解：
四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×BD×AO$+\frac{1}{2}×$BD×OC
=$\frac{1}{2}×$BD×AC
=28；
（2）探究：
∵AC⊥BD，
∴AB²=OA²+OB²，
CD²=OD²+OC²，
AD²=OA²+OD²，
BC²=OC²+OB²，
∴AB²+CD²=OA²+OB²+OD²+OC²，
AD²+BC²=OA²+OB²+OD²+OC²，
∴AB²+CD²=AD²+BC²；
（3）应用：
①如图2，作PD⊥AC于D，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵PD∥BC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
由题意得，AP=5t，CQ=6t，
则$\frac{AD}{6}$=$\frac{PD}{8}$=$\frac{5t}{10}$，
解得，AD=3t，PD=4t，
∵四边形BCQP是“垂直四边形”，
∴BP²+CQ²=PQ²+BC²，即（10-5t）²+（6t）²=（4t）²+（6-9t）²+8²，
解得，t=$\frac{2}{9}$，
当t=$\frac{2}{9}$时，四边形BCQP是“垂直四边形”；
②如图3，作CP⊥AB于P，GH⊥EA交EA的延长线于H，
∵∠EAG+∠BAC=360°-90°-90°=180°，
∠EAG+∠GAH=180°，
∴∠BAC=∠GAH，
在△CAP和△GAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAP=∠GAH}\\{∠APC=∠AHG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△CAP≌△GAH，
∴PC=GH，
设CA=x，则AB=3x，
由勾股定理得BC=2$\sqrt{2}$x，
则PC=$\frac{AC×BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$x，
∴AH=$\frac{1}{3}$x，
由勾股定理得，EG=$\sqrt{E{H}^{2}+G{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{EG}{BC}$=$\frac{2\sqrt{3}x}{2\sqrt{2}x}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴EG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$BC．

点评 本题考查的是垂直四边形的概念和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，正确理解垂直四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．