Question

8．已知直线OA的解析式为y₁=kx，且这条直线与x轴的正半轴的夹角为30°，y₂=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

• A． 两函数图象的交点坐标为（$\sqrt{3}$，1）或（-$\sqrt{3}$，-1）
• B． 当x＞$\sqrt{3}$时，y₂＞y₁
• C． 当x=1时，BC=2$\sqrt{3}$
• D． 当x=1时，△ABC的面积为1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作AD⊥x轴于D，如图，设A（t，$\frac{\sqrt{3}}{t}$）（t＞0），在Rt△OAD中，根据正切的定义可得$\frac{\frac{\sqrt{3}}{t}}{t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得t=$\sqrt{3}$，则两函数图象的交点坐标为A（$\sqrt{3}$，1），反比例函数图象只在第一象限，于是可对A进行判断；观察函数图象，当x＞$\sqrt{3}$时，一次函数图象都在反比例函数图象的上方，则可对B进行判断；利用待定系数法求出OA的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，则易得B（1，$\sqrt{3}$）和C（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），于是计算出BC的长，则可对C进行判断；根据三角形面积公式可对D进行判断．

解答 解：作AD⊥x轴于D，如图，
设A（t，$\frac{\sqrt{3}}{t}$）（t＞0），
在Rt△OAD中，∵tan∠AOD=tan30°=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{t}}{t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，1），所以A选项错误；
当x＞$\sqrt{3}$时，y₁＞y₂，所以B选项错误；
把A（$\sqrt{3}$，1）代入y=kx得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则直线OA的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
当x=1时，y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$=$\sqrt{3}$，则B（1，$\sqrt{3}$）；当x=1时，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则C（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴BC=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以C选项错误；
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$-1）×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以D选项正确．
故选D．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了三角形面积公式．