Question

如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．
（1）求证：直线PQ与⊙O相切；
（2）连结PO并延长交⊙O于点E、交AC的延长线于点F，连结PC，若OC=

5

，tan∠OPC=

1

2

，求EF的长．

Answer 1

考点：切线的判定,解直角三角形

专题：证明题

分析：（1）结PO、PC，根据圆周角定理由BC是⊙O的直径得∠BPC=90°，而Q是AC的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得PQ=CQ，则∠CPQ=∠PCQ，加上∠OPC=∠OCP，所以∠OPC+∠CPQ=∠OCP+∠PCQ=∠BCA=90°，于是可根据切线的判定定理得到直线PQ与⊙O相切；、
（2）连结CE，由EP是直径得∠ECP=90°，即∠ECO+∠OCP=90°，而∠ECO+∠ECF=90°，所以∠ECF=∠OCP=∠OPC，可证明△FEC∽△FCP，根据相似的性质得

EF

CF

=

CF

PF

=

EC

PC

；在Rt△EPC中，利用正切的定义得tan∠OPC=

EC

PC

=

1

2

，则CF=2EF，PF=2CF，所以PF=4EF，则PE=3EF，然后利用EF=2

5

可求出EF的长．

解答：（1）证明：连结PO、PC，如图，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°，
∴∠APC=90°，
又∵Q是AC的中点，
∴PQ=CQ，
∴∠CPQ=∠PCQ，
∵OP=OC
∴∠OPC=∠OCP，
∴∠OPC+∠CPQ=∠OCP+∠PCQ=∠BCA=90°，
∴OP⊥PQ，
∴直线PQ与⊙O相切；、
（2）解：连结CE，如图，
∵EP是直径，
∴∠ECP=90°，即∠ECO+∠OCP=90°，
又∵∠ECO+∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠OCP=∠OPC，
而∠F=∠F
∴△FEC∽△FCP，
∴

EF

CF

=

CF

PF

=

EC

PC

，
在Rt△EPC中，tan∠OPC=

EC

PC

=

1

2

，
∴

EF

CF

=

CF

PF

=

1

2

，
∴CF=2EF，PF=2CF，
∴PF=4EF，
∴PE=3EF，
即3EF=2×

5

，
∴EF=

2 5

3

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质．