Question

如图一，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，D为AB中点，E为BC上一点，且DE⊥AB垂足为D． 
（1）求证：DE=EC； 
（2）如图二，点F在ED延长线上，连接BF，AF，作AF的垂直平分线交EC于点G，连接FG．请探究BF与GF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）连接AE，根据垂直平分线的性质定理证得BE=AE，根据等边对等角得出∠DAE=∠B=30°，由于在直角三角形ABC中∠BAC=60°，从而证得AE是角的平分线，根据角的平分线的性质定理即可证得DE=EC．
（2）作FI⊥BC于I，作FJ⊥AC于J，连接AG，设BI=x，IG=y，FI=z，AC=1，则BC=

3

，由于BF²=BI²+FI²=x²+z²，FG²=FI²+GI²=z²+y²，AF²=AJ²+FJ²=（1-z）²+（

3

-x）²，AG²=AC²+GC²=1+（

3

-x-y）²，根据线段的垂直平分线的性质定理即可求得BF=FA，FG=AG，从而列出方程，解方程组可得x²-

3

x+

3

y-xy=0，从而证得x=y，即I是BG的中点，根据线段的垂直平分线的性质定理即可得出BF=GF．

解答：（1）证明：如图1，连接AE，
∵D为AB中点，且DE⊥AB，
∴BE=AE，
∴∠DAE=∠B=30°，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠EAC=30°，
∴∠DAE=∠CAE=30°，
∵DE⊥AB，EC⊥AC，
∴DE=EC．

（2）BF=GF；
证明：作FI⊥BC于I，作FJ⊥AC于J，连接AG，
设BI=x，IG=y，FI=z，AC=1，则BC=

3

，
在RT△BFI中，BF²=BI²+FI²=x²+z²，
在RT△FGI中，FG²=FI²+GI²=z²+y²，
在RT△AFJ中，AF²=AJ²+FJ²=（1-z）²+（

3

-x）²，
在RT△AGC中，AG²=AC²+GC²=1+（

3

-x-y）²，
∵D为AB中点，且DE⊥AB，
∴BF=FA，
∵作AF的垂直平分线交EC于点G，
∴FG=AG，
∴x²+z²=（1-z）²+（

3

-x）²，z²+y²=1+（

3

-x-y）²，
联立这两个方程得：x²-

3

x+

3

y-xy=0，
即x=y，
∴I是BG的中点，
∵FI⊥BC于I，
∴BF=GF．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质定理，勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解本题的关键．